Câu hỏi và bài tập
Bài 27 trang 205 SGK
Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức 
trong mỗi trường hợp sau:
a) z = r(cosφ + isinφ) (r>0);
b) z = 1 + i√3.
Lời giải:
a) Ta có:
Kz là một số phức có modun là |Kz| = |K|. |z| = |K|.r, có acgumen là φ nếu K > 0, là φ+π nếu k < 0.
Vậy Kz = |K|.r(cosφ + isinφ) nếu k > 0
Kz = |K|r. (cos(φ + π) + isin (φ + π) nếu k < 0
b) Khi z = 1 + i√3
Bài 28 trang 205 SGK
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) 1 – i√3; 1+i; (1 – i√3)(1 + i); (1 – i√3)/(1 + i);
b) 2i(√3 – i);
c) 1/(2 + 2i);
d) z = sinφ + cosφ (φ ∈ R).
Lời giải:
Bài 29 trang 206 SGK
Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)19 và công thức Moa-vrơ để tính:
Lời giải:
Theo nhị thức Nui-tơn ta có:
Nên công thức Moa-vrơ ta có:
So sánh (1) và (2) ta có:
Bài 30 trang 206 SGK
Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số z = 3 + i; z' = (3 – √3) + (1 + 3√3)i.
a) Tính z'/z.
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acguemn của z là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’). Tính số đo đó.
Lời giải:
Từ (1) và (2) ta có: cos(α' – α) = cos(OM, OM') nên kí hiệu α' – α là một số đo của góc lượng giác (OM, OM’) và số đo là
Bài 31 trang 206 SGK
Cho các số phức
a) Chứng minh rằng z0 = cos(π/12) + isin(π/12), z1 = z0ε, z2 = z0ε2 là các nghiệm của phương trình z3 − w = 0;
b) Biểu diễn hình học các số phức z0; z1; z2.
Lời giải:
a) Ta có: z0 = cos(π/12) + isin(π/12)
Vậy z03 – w = 0 hay z0 là một nghiệm của phương trình: z3 − w = 0
Vậy z13 – w = 0 hay z1 là một nghiệm của phương trình: z3 − w = 0
Vậy z23 – w = 0 hay z2 là một nghiệm của phương trình: z3 − w = 0
b) Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số:
Nhận xét: ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác đều.
Luyện tập
Bài 32 trang 207 SGK
Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính sin4α và cos4α theo các lũy thừa sinα và cosα.
Lời giải:
Theo công thức Moa-vrơ ta có:
(cosα + i sinα)4 = cos4α + i sin4α
⇔ (cos4α – 6 sin2α . cos2α + sin4α) + 4(cos3α sinα – sin3α.cosα )i = cos4α + i sin4α
Bài 33 trang 207 SGK
Tính
Lời giải:
Bài 34 trang 207 SGK
Cho số phức
Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. hỏi có số nguyên dương m nào để wm là số ảo?
Lời giải:
Để wn là số thực thì
Để n ∈ N* thì k = 4 với t ∈ N*. Khi đó n = 3t, với t ∈ N*
Để wm là số ảo thì
Vì phương trình này vô nghiệm, nên không tồn tại m để wm là số ảo.
Bài 35 trang 207 SGK
Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:
Lời giải:
Giả sử z = r(cosα + isinα)
a) Vì |z| = 3 ⇒ r = 3
b) Vì |z| = 1/3 ⇒ r = 1/3
z có hai căn bậc hai là:
Bài 36 trang 207 SGK
Viết dạng lượng giác của các số phức:
Lời giải:
