SGKVN

Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) - Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức | Sách Bài Giải

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức - Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao). Xem chi tiết nội dung bài Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức và tải xuống miễn phí trọn bộ file PDF Sách Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao) | Sách Bài Giải

Câu hỏi và bài tập

Bài 40 trang 43 SGK

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y = x3 + 3x2 – 4

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.

Lời giải:

a) TXĐ: R

y'> 0 trên khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-2; 0)

+ y = y(-2) = 0; yCT = y(0) = -4

+ limx→–∞⁡ y = -∞; limx→+∞ y = +∞

+ y'' = 6x + 6 = 6(x + 1) = 0 ⇔ x = -1

Bảng xét dấu y’’

X –∞   -1   +∞
Y’’   0 +  
Đồ thị   lồi điểm uốn U(-1; -2) lõm  

Hàm số lồi trên khoảng (–∞; -1)

Hàm số lõm trên khoảng (-1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn U(-1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)

b) Hàm số y = x3 + 3x2 – 4 có điểm uốn U(-1; -2)

Ta có: y' = 3x2 + 6x; y’(-1) = -3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(-1; -2) có dạng

y – y0 = y'(x0)(x – x0)

⇔ y + 2 = -3(x + 1)

⇔ y = -3x – 5

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x – 5.

c)

Cách 1. Đồ thị nhận U(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

f(x0 + x) + f(x0 – x) = 2y0 với ∀x

⇔ f(x – 1) + f(-x – 1) = -4 ∀x

⇔ (x – 1)3 + 3(x – 1)2 – 4 +(-1 – x)3 + 3(-1 – x)2 – 4 = -4 ∀x

⇔ x3 – 3x2 + 3x – 1 + 3x2 – 6x + 3 – 4 – 1 – 3x – 3x2 – x3 + 3 + 6x + 3x2 – 4 = -4 ∀x

⇔ -4 = - 4 ∀x

⇒ I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Cách 2. Gọi U(-1; -2) là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến OU giữa các tọa độ cũ.

Theo công thức đổi trục tọa độ

Phương trình trở thành Y = X3 – 3X đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng ⇒ điều phải chứng minh.

Bài 41 trang 44 SGK

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

y = -x3 + 3x1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình

-x3 + 3x2 – 1 = m

Lời giải:

a) y = -x3 + 3x2 – 1

Tập xác định D = R

y' = -3x2 + 6x

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

y= y(2) = 3; yCT = y(0) = -1

y''= -6x + 6; y''= 0 ⇒ x = 1

- Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1) lõm trên khoảng (1; +∞)

- Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị đi qua (0; -1)

b) -x3 + 3x2 – 1 = m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y = -x3 + 3x2 – 1 với đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm

- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm

- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.

Kết luận:

Bài 42 trang 44 SGK

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) TXĐ: R

y'> 0 trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 3)

yCT = y(3) = -32/3; y = y(-1) = 0

y''= 2x – 2 = 2(x – 1) = 0 ⇔ x = 1

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1).

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -16/3)

Bảng biến thiên

- Đồ thị

Đi qua (0; -5/3); (5; 0)

b) TXĐ: R

y'= 3x3 = 0 ⇔ x =±1

y'> 0 trên khoảng (–∞; -1)và (1; +∞)

y'< 0 trên khoảng (-1; 1)

y = y(-1) = 3; yCT = y(1) = -1

Bảng xét dấu y’’

X –∞   0   +∞
Y’’   0 +  
Đồ thị lồi   điểm uốn u(0; 1)   lõm

Hàm số có 1 điểm uốn U(0; 1)

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đi qua (0; 1)

c)

+ TXĐ D = R.

y'= -x2 + 2x – 2 = -[(x – 1)2 + 1] < 0 ∀x ∈ D

- Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)

- Hàm số không có cực trị

- Đồ thị không có tiệm cận.

y'' = -2x + 2; y''= 0 ⇒ x = 1

- Hàm số lồi trên (1; +∞)lõm trên (–∞; 1) nhận I(1; -2) làm điểm uốn.

Bảng biến thiên

d) y = x3 – 3x2 + 3x + 1

TXĐ D = R

y'= 3x2 – 6x + 3 = 3(x – 1)2 > 0 ∀x ∈ D

- Hàm số luôn đồng biến (–∞; +∞)

- Hàm số không có cực trị

limx→⁡ y = +∞; limx→+∞⁡ y = –∞

- Đồ thị không có tiệm cận

y'' = 6x – 6; y'' = 0 ⇒ x = 1

- Đồ thị lồi trên (-∞; 1)

- Đồ thị lõm trên (1; +∞)

Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.

Bảng biến thiên

Bài 43 trang 44 SGK

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau

y = -x4 + 2x2 – 2

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình

-x4 + 2x2 – 2 = m

c) Viết Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.

Lời giải:

a) Hàm số y = -x4 + 2x2 – 2 (TXĐ: R)

* y'= -4x3 + 4x = 4x(-x2 + 1) = 0

y'>0 trên khoảng (–∞; -1)và (0; 1)

y'<0 trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

yCT = y(0)=-2; y = y(-1) = y(1) = -1

limx→–∞⁡y = -∞; limx→+∞⁡y = –∞

- y'' = -12x2 + 4 = 4(-3x2 + 1) = 0

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)

b) Số nghiệm của Phương trình -x4 + 2x2 – 2 = m (1) là giao điểm của đồ thị y = -x4 + 2x2 – 2 với đường thẳng y = m.

Nếu m > -1 thì Phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu m = 1 thì Phương trình (1) có 2 nghiệm.

Nếu -2 < m < -1: Phương trình có 4 nghiệm.

Nếu m = -2 phương trình (1) có 3 nghiệm

Nếu m < -2: Phương trình (1) có 2 nghiệm

Kết luận:

• m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (1) có 2 nghiệm.

• m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

• -2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

c) Hàm số y = -x4 + 2x2 – 2 có 2 điểm uốn đó là:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:

Bài 44 trang 44 SGK

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x4 – 3x2 + 2                           b) y = -x4 – 2x2 + 1

Lời giải:

a) y = x4 – 3x2 + 2   

TXĐ: R

•Bảng xét dấu y’’

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

Giao với Oy (0; 2)

Giao với Ox (-1; 0); (1; 0)

(-√2; 0); (√2; 0)

b) y = -x4 – 2x2 + 1

TXĐ: R

y' = -4x3 – 4x = 4x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

y'> 0 trên khoảng (–∞; 0), y'< 0 trên khoảng (0; +∞)

y= y(0) = 1

limx→–∞⁡y = –∞; limx→+∞⁡y = -∞

y'' = -12x2 – 4 < 0 ∀x ∈ R

Bảng xét dấu y’’

X -∞ +∞
Y’’   Lồi  
Đồ thị      

Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)

Luyện tập

Bài 45 trang 44 SGK

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3x2 + 1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của Phương trình x3x2 + m + 2 = 0

Lời giải:

a) y = x– 3x2 + 1

TXĐ: R

y' = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) = 0

y'> 0 trên khoảng (-∞; 0) ∪ (2; +∞)

y' < 0 trên khoảng (0; 2)

yCT = y(2) = -3; y= y(0) = 1

y'' = 6x – 6 = 6(x – 1) = 0 ⇔ x = 1

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (–∞; 1)

Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -1)

Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Giao với Oy (0; 1)

b) x3 – 3x2 + m + 2 = 0

⇔ x–  3x2 + 1 = -1 – m (2)

Số nghiệm của Phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị y = x3 – 3x2 + 1 với đường thẳng y = -1 – m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu -1 – m > 1 ⇔ m < -2 phương trình (2) có 1 nghiệm.

- Nếu -1 – m = 1 ⇔ m = -2: Phương trình (2) có 2 nghiệm.

- Nếu -3 < -1 – m < 1 ⇔ -2 < m < 2: Phương trình (2) có 3 nghiệm.

- Nếu -1 – m < -3 ⇔ m > 2: Phương trình (2) có 1 nghiệm.

Kết luận:

-2 < m < 2: Phương trình (2) có 3 nghiệm.

Bài 46 trang 44 SGK

Cho hàm số

y = (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2)

a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = -1

Lời giải:

a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (Cm) với trục hoành là nghiệm của phương trình:

Đặt f(x) = x2 + 2mx + m + 2

Để đồ thị hàm số (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình f(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 khác -1.

Vậy với m thỏa mãn (*) thì đồ thị hàm số Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b) Với m = -1. Ta có: y = (x + 1)(x2x + 1) = x3 – x2 – x + 1

TXĐ: R

Bảng xét dấu y’’

Hàm số lồi trên khoảng (–∞; 1/3)

Hàm số lõm trên khoảng (1/3; +∞)

Hàm số có 1 điểm uốn (1/3; 16/27)

Bảng biến thiên

• Đồ thị

Giao với Ox(-1; 0); (1; 0) giao với Oy (0; 1) đi qua (2; 3)

Bài 47 trang 45 SGK

Cho hàm số

y = x4 – (m + 1)x2 + m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b) CMR đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.

Lời giải:

a) Với m = 2 ta có: y = x4 – 3x2 +2

TXĐ: R

y'= 4x3 – 6x = 0 ⇔ 4x(2x3 – 3) = 0

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên

Đồ thị đi qua (1; 0); (-1; 0) (-√2; 0),(√2; 0),(0; 2)

b) Giả sử điểm M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn di qua với mọi m.

Ta có:

Vậy hàm số đã cho luôn đi qua 2 điểm cố định: M1 (-1; 0); M2 (1; 0)

Bài 48 trang 45 SGK

Cho hàm số

y = x4 – 2mx2 + 2m

a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có 3 cực trị.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1/2. Viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm uốn.

Lời giải:

a) Ta có y'= 4x–  4mx = 4x(x2 – m)

Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

b) Với m = 1/2, ta có y = x4 – x2 + 1

TXĐ: R

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên

Đồ thị đi qua (0; 1)

* y= x4 – x2 + 1

Hàm số có 2 điểm uốn là

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Vậy 2 phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là:

 

Xem và tải xuống trọn bộ sách giáo khoa Bài giải GIẢI TÍCH 12 (Nâng Cao)

Tổng số đánh giá:

Xếp hạng: / 5 sao

Sách giáo khoa liên quan

Ngữ Văn 12 - Tập Một

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Ngữ Văn 12 - Tập Hai

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Ngữ Văn 12 (Nâng Cao) - Tập Một

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Công Nghệ 12

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Địa Lý 12

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Địa Lý 12 Nâng Cao

Địa lý 12 - Nâng cao

Ngữ Văn 12 (Nâng Cao) - Tập Hai

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Giáo Dục Quốc Phòng - An Ninh 12

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Lịch Sử 12

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Lịch Sử 12 (Nâng Cao)

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Tin Học 12

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Sinh Học 12

Sách Lớp 12 NXB Giáo Dục Việt Nam

Gợi ý cho bạn

bai-tap-ngu-van-6-tap-2-72

Bài Tập Ngữ Văn 6 - Tập 2

Sách Lớp 6 Kết Nối Tri Thức

vo-thuc-hanh-hoat-dong-trai-nghiem-1-744

VỞ THỰC HÀNH Hoạt động trải nghiệm 1

Môn học lớp 1 - NXB Cánh Diều

toan-10-tap-2-1969

Toán 10 - Tập 2

Toán 10 - Tập 2

lich-su-va-dia-li-5-1634

Lịch Sử Và Địa Lí 5

NXB Kết nối tri thức - Lịch sử và địa lý 5

mi-thuat-2-997

Mĩ Thuật 2

Sách Lớp 2 Cánh Diều

Nhà xuất bản

canh-dieu-1

Cánh Diều

Bộ sách giáo khoa của Nhà xuất bản Cánh Diều

chan-troi-sang-tao-2

Chân Trời Sáng Tạo

Bộ sách giáo khoa của Nhà xuất bản Chân Trời Sáng Tạo

ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song-3

Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Sách giáo khoa của nhà xuất bản Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

giao-duc-viet-nam-5

Giáo Dục Việt Nam

Bộ Sách Giáo Khoa của Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam

sach-bai-giai-6

Sách Bài Giải

Bài giải cho các sách giáo khoa, sách bài tập

sach-bai-tap-7

Sách Bài Tập

Sách bài tập tất cả các khối lớp

tai-lieu-hoc-tap-9

Tài liệu học tập

Đây là tài liệu tham khảo hỗ trợ trong quá trình học tập

global-success-bo-giao-duc-dao-tao-11

Global Success & Bộ Giáo Dục - Đào Tạo

Bộ sách Global Success & Bộ Giáo Dục - Đào Tạo là sự kết hợp giữa ngôn ngữ Tiếng Anh theo lối giảng dạy truyền thống và cập nhật những phương thức quốc tế

nxb-dai-hoc-su-pham-tphcm-12

NXB - Đại Học Sư Phạm TPHCM

NXB - Đại Học Sư Phạm TPHCM

Chủ đề

Liên Kết Chia Sẽ

** Đây là liên kết chia sẻ bới cộng đồng người dùng, chúng tôi không chịu trách nhiệm gì về nội dung của các thông tin này. Nếu có liên kết nào không phù hợp xin hãy báo cho admin.