(Trang 96)
Ví dụ 1
Cho tam giác nhọn ABC cân tại A. Từ B và C kẻ lần lượt hai đường cao BH và CK của tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng đường tròn tâm O đường kính BC đi qua K và H.
b) Chứng minh rằng hai cung nhỏ BH và CK bằng nhau.
c) Tính số đo của cung nhỏ KH nếu 
= 40°.
Hình 5.20
Giải (H.5.20; học sinh tự ghi giả thiết, kết luận)
a) Đặt 
Khi đó (O; R) là đường tròn đường kính BC. Dễ thấy HO là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông HBC nên 
. Do đó H ∈ (O, R).
Tương tự, ta cũng có K ∈ (O, R).
Vậy đường tròn (O; R) đi qua các điểm K và H.
b) Hai tam giác vuông HBC và KCB có chung cạnh huyền BC và 
= 
(do tam giác ABC cân tại A) nên △HBC = △KCB, suy ra BH = CK. Do đó △BOH = △COK (vì BO = CO, OH = OK, BH = CK). Từ đó ta có 
= 
.
Mặt khác, sđ 
= , sđ 
= , do đó 
= 
.
c) Ba tam giác cân ABC, OCH và OBK có các góc ở đáy bằng nhau nên ba góc ở đỉnh cũng bằng nhau. Bởi vậy ta có
= 
= 
= 40°.
Mặt khác, + 
+ = 
= 180°. Do đó
= 180° - - = 100°.
Do là góc ở tâm khác góc bẹt nên 
là cung nhỏ. Do đó sđ 
= 100°.
Ví dụ 2
Ta gọi hình giới hạn bởi một cung nhỏ của một đường tròn và dây căng cung đó là hình viên phân. Lập công thức tính diện tích hình viên phản ứng với cung 90°, biết bán kính của đường tròn là R.
Hình 5.21
(Trang 97)
Giải
Giả sử AB là cung có số đo 90°; S là diện tích hình viên phân (phần tô màu trên Hình 5.21) và 
là diện tích của hình quạt ứng với cung đó; 
là diện tích hình tam giác OAB.
Ta có 
, 
. Do đó
.
BÀI TẬP
5.14. Cho dây AB không qua tâm của đường tròn (O). Gọi A' và B' là hai điểm lần lượt đối xứng với A và B qua O. Hỏi đường trung trực của A'B' có phải là trục đối xứng của (O) hay không? Tại sao?
5.15. Cho tam giác ABC không là tam giác vuông. Gọi H và K là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ B và C xuống AC và AB. Chứng minh rằng:
a) Đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K;
b) KH < BC.
5.16. Có thể xem guồng nước (còn gọi là cọn nước) là một công cụ hay cỗ máy có dạng hình tròn, quay được nhờ sức nước chảy (H.5.22a). Guồng nước thường thấy ở các vùng miền núi. Nhiều guồng nước được làm bằng tre, dùng để đưa nước lên ruộng cao, giã gạo hoặc làm một số việc khác.
Giả sử ngấn nước ngăn cách giữa phần trên và phần dưới nước của một guồng nước được biểu thị bởi cung ứng với một dây dài 4 m và điểm ngập sâu nhất là 0,5 m (trên Hình 5.22b, điểm ngập sâu nhất là điểm C, ta có AB = 4 m và HC = 0,5 m). Dựa vào đó, em hãy tính bán kính của guồng nước.
Hình 5.22
(Trang 98)
5.17. Cho đường tròn (O; 5 cm).
a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.
b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.
d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.
5.18. Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cũng có dạng bánh răng) gắn với bánh xe và bộ xích (H.5.23). Biết rằng giò đĩa có bán kính 15 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 65 cm. Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?
Hình 5.23
6.19. Cho tam giác đều ABC có AB = 
cm. Nửa đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (khác B và C) (H.5.24).
a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ BD, DE và EC bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.
b) Tính diện tích của hình viên phân (xem Ví dụ 2) giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD.
Hình 5.24
