(Trang 11)
Khái niệm, thuật ngữ
- Phương pháp thế
- Phương pháp cộng đại số
Kiến thức, kĩ năng
Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc sử dụng máy tính cầm tay.
Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:
– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây,
– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.
PHƯƠNG PHÁP THẾ
Làm quen với phương pháp thế
HĐ1 Cho hệ phương trình 
. Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:
- Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x.
- Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x. 2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 
bằng phương pháp thế.
Giải
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có y = 2x-3. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được x+2(2x-3)=4 hay 5x-6=4, suy ra x=2.
Từ đó y=2.2-3=1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;1).
(Trang 12)
Luyện tập 1
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) 
; b) 
Tùy theo hệ phương trình, ta có thể lựa chọn cách biểu diễn x theo y hoặc biển diễn y theo x.
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp thế.
Giải
Từ phương trình thứ nhất ta có x=y-2. Thế vào phương trình thứ 2, ta được 2(y-2)-2y=8 hay 0y-4=8 (1)
Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Luyện tập 2:
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp thế.
Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp thế.
Giải
Từ phương trình thứ nhất ta có y = x -2 (2)
Thế vào phương trình thứ hai, ta được 3x - 3(x-2)=6 hau 0x=0 (3)
Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn (3)
Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi (2).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; x-2) với x ∈ R tùy ý
Luyện tập 3
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp thế.
Vận dụng 1
Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x,y =N*).
a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x, y.
b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.
(Trang 13)
PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Làm quen với phương pháp cộng đại số
HĐ2 Cho hệ phương trình (II) 
. Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:
- Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.
- Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Cộng hay trừ từng về của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số:
Giải
Cộng từ vế hai phương trình ta được 8y=16, suy ra y=2.
Thế y-2 vào phương trình thứ hai ta được 2x+3.2=4, hay 2x=-2, suy ra x=-1.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (-1;2).
Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số:
Giải
Trừ từng vế của hai phương trình, ta được (5x-5x)+(-7y+3y)=9-1 hay -4y=8, suy ra y=-2
Thế y=-2 vào phương trình thứ nhất, ta được 5x-7.(-2)=9 hay 5x + 14=9, suy ra x=-1.
Vậy hệ hai phương trình đã cho có nghiệm là (-1;-2)
(Trang 14)
Luyện tập 4:
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) 
; b) 
Chú ý: Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).
Ví dụ 6:
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số.
Giải
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 13x=13 hay x=1
Thế x=1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có 3.1+2y=7, suy ra y=2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1;2)
Luyện tập 5:
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số.
Ví dụ 7:
Giải hệ phương trình 
bằng phương pháp cộng đại số.
Giải
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ 
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có 0x+0y=0. Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.
Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức 3x-5y=2, suy ra y=
x-
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x;x-) với x ∈ R.
Luyện tập 6:
Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình 
(Trang 15)
3. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay
Muốn tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay (MTCT), chúng ta cần sử dụng loại máy có chức năng này (thường có phím MODE).
Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng:
Chẳng hạn để tìm nghiệm của hệ 
, có viết nó dưới dạng 
Khi đó, ta có 
=2, 
=3, 
=4; 
=5, 
=6 và 
=7. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính tích hợp):
Bước 1: Vào chức năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn các phím MODE 5 1 (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí 
).
Bước 2: Nhập các số =2, 
=3, 
; 
,
và 
bằng cách nhấn: 2=3=4=5=6=7=(xem màn hình sau bước 2).
Bước 3: Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, nhấn =, màn hình cho x=-1; nhán tiếp phím =) màn hình cho y=2 (xem màn hình sau bước 3). Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).
Chú ý
- Muốn xoá số vừa mới nhập thì nhấn phím
; muốn thay đổi số đã nhập ở một vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới. - Nhấn phím
hay 
để chuyển đổi hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả. - Nếu máy báo “Infinite Sol" thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. Nếu máy báo “No–Solution” thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Thực hành: Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
(Trang 16)
Vận dụng 2
Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililít dung dịch acid HCI nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCI nồng độ 10%.
a) Gọi x là số mililít dung dịch acid HCI nồng độ 20%, y là số mililít dung dịch acid HCI nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y.
– Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.
– Tổng số gam acid HCI nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.
b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trinh này để tính số mililit cần lấy của mỗi dung dịch acid HCl ở trên.
Bài tập:
1.6. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) 
b) 
c) 
1.7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) 
b) 
c) 
1.8. Cho hệ phương trình 
, trong đó m là só đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) m=-2; b) m=-3; c) m=3
1.9. Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hện phương trình sau:
a) 
; b) 
c) 
; d) 
(Trang 17)
Em có biết? (Đọc thêm)
1. Đường thẳng ax+by=c
Ta đã biết một phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm; mỗi nghiệm là một cặp số (
;
) ; mộ cặp số lại có thể xem là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Vật trên mặt phẳng tọa độ, các điểm mà tọa độ của chúng ta là các nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn có quan hệ với nhau như thế nào?
Người ta đã chứng minh được rằng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by =c tạo đên một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng ax + by + c. Nếu kí hiệu đường thẳng đó là △ thì ta viết △: ax +by= c.
- Khi a ≠ 0 và b ≠ 0, đường thẳng △ trùng với đồ thị hàm số y=-
, - Khi a=0 và b ≠ 0 , phương trình ax + by = c có thể đưa về dạng: y=m (với m=
); △ là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0;m); - Khi a ≠ 0 và b=0, phương trình ax + by =c có thể đưa về dạng x=n( với n=
); △ là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm (n;0)
Dưới đây là một ví dụ (Hình 1.3a, b, c):
2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng hình học:
Ta đã biết, mỗi nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
(*)
là một nghiệm chung của hai phương trình trong (*). Nghiệm chung ấy tương ứng với điểm chung của hai đường thẳng △ : ax + by = c và 
: a'x + b'y = c', tức là giao điểm của △ và . Do đó ta có thể giải hệ (*) bằng cách vẽ hai đường thẳng △ và rồi tìm toạ độ điểm chung của chúng.
Từ đó, ta thấy chỉ có thể xảy ra 3 trường hợp:
1) △ và cắt nhau (có một điểm chung). Hệ (*) có một nghiệm duy nhất.
2) △ và song song với nhau (không có điểm chung). Hệ (*) vô nghiệm.
3) △ và trùng nhau (mỗi điểm của △ đều là điểm chung). Hệ (*) có vô số nghiệm.
(Trang 18)
Để giải hệ phương trình 
ta làm như sau (H.1.4);
- Vẽ đường thẳng 2x - y = 3 qua hai điểm A(0;-3) và B(1;-1)
- Vẽ đường thẳng x + 2y = 4 qua hai điểm C(0;2) và D(4;0).
Hai đường thẳng cắt nhau tại M(2;1) nên (2;1) là nghiệm duy nhất của hệ đã cho.
Ví dụ 2:
Xét hệ phương trình 
ta thấy đường thẳng 
: -x+y=2 là đồ thị của hàm số y=x+2; đường thẳng 
: -2x+2y=8 là đồ thị của hàm số y=x+4 (H.1.5)
Hai đường thẳng và phân biết và có cùng hệ số góc là 1 nên chúng song song với nhau.
Do đó, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3:
Xét hệ phương trình 
ta thấy hai đường thẳng -x+y=2 và -2x+2y=4 cùng là đồ thị của hàm số y=x+2 nên chúng trùng nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
(Trang 19)
LUYỆN TẬP CHUNG
Giải hệ phương trình 
Giải
Nhân hai vế của mỗi phương trình với 10, ta được:
(1)
Ta giải hệ (1). Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ: 
(2)
Cộng từng vế của hai phương trình của hệ (2) ta được 23x=46, suy ra x=2
Thế x=2 vào phương trình thứ nhất của (1), ta được 5.2+6y=4 hay 6y=-6 suy ra y=-1
Vệ hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;-1).
Ví dụ 2:
Tìm các hệ số x,y trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:
3Fe +x
-> yF
Giải
Vì số nguyên tử của Fe và O ở cả hai vế của phương trình phản ứng phản bằng nhau nên ta có hệ phương trình 
Giải hệ này ta được x=2, y=1.
Ví dụ 3:
Tìm hai số a và b để đường thẳng y=ax+b đi qua hai điểm A(-2;1) và B(2;3).
Giải
Đường thẳng y=ax+b đi qua điểm A(-2;-1) nên a(-2)+b=-1 hay -2a+b=-1.
Tương tự, đường thẳng y=ax+b đi qua điểm B(2;3) nên a.2+b=3 hay 2a+b=3
(Trang 20)
Từ đó, ta có hệ phương trình với hai ẩn là a và b:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được 2b=2, suy ra b=1
Thay b=1 vào phương trình thứ nhất, ta có -2a + 1 =-1, suy ra a=1.
Vậy ta có đường thẳng y=x+1
BÀI TẬP
1.10. Cho hai phương trình:
-2x + 5y=7; (1)
4x - 3y=7 (2)
Trong các cặp số (2;0), (1;-1), (-1;1), (-1;6), (4;3) và (-2;-5), cặp số nào là:
a) Nghiệm của phương trình (1)?
b) Nghiệm của phương trình (2)?
c) Nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2)?
1.11. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) 
b) 
c) 
1.12. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) 
b)
c) 
1.13. Tìm các hệ số x, y trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:
4AI+
-> 
1.14. Tìm a và b so cho hệ phương trình 
có nghiệm là (1;-2)
