Trang 39
| Khái niệm, thuật ngữ • Phép chia hết • Phép chia có dư • Thương, dư (trong phép chia đa thức) | Kiến thức, kĩ năng • Thực hiện các phép tính chia hai đa thức một biến. • Nhận biết và vận dụng các tính chất của các phép tính về đa thức trong tính toán. |
Bài toán: Tìm đa thức P sao cho A = B P, trong đó A = 2x4-3x³-3x² + 6x - 2 và B = x² - 2.
Mình nghĩ mãi mà chưa giải được bài toán này. Vuông có cách nào giải không?
Ừ nhỉ! nếu A và B là hai số thì chỉ việc lấy A chia cho B là xong nhưng A và B lại là hai đa thức.
Cũng thế thôi các em ạ. Trước hết các em phải tìm hiểu cách chia hai đa thức.
1. LÀM QUEN VỚI PHÉP CHIA ĐA THỨC
Phép chia hết
1. Xét hai đơn thức 6x4 và 2x3, ta thấy 6x4 = (-2x³) - (-3x). Từ đó, tương tự như đối với các số, ta cũng có thể viết:
6x4 : (-2x3) = -3x, hay 
= -3x
và nói rằng đó là một phép chia hết.
2. Một cách tổng quát, cho hai đa thức A và B với B ≠ 0. Nếu có một đa thức Q sao cho A = B . Q thì ta có phép chia hết:
A: B = Q hay 
= Q, trong đó: B
A là đa thức bị chia;
B là đa thức chia;
Q là đa thức thương (gọi tắt là thương).
Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.
Kí hiệu B = 0 có nghĩa B không phải là đa thức không.
Trang 40
3. Để thực hiện phép chia 6x4 cho (-2x3), ta làm như sau:
• Chia hai hệ số: 6 : (-2) = -3.
• Chia hai luỹ thừa của biến: x4 : x3 = x.
• Nhân hai kết quả trên, ta tìm được thương là -3x.
Nhớ lại quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số nhé!
12x³: 4x được hiểu là 12x³: (4x).
Khi nào thì axn chia hết cho bxm?
HĐ1. Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:
a) 12x³ : 4x;
b) (-2x4) : x4;
c) 2x5: 5x2.
HĐ2. Giả sử x ≠ 0. Hãy cho biết:
a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai luỹ thừa của x cũng là một luỹ thừa của x với số mũ nguyên dương?
b) Thương hai luỹ thừa của x cùng bậc bằng bao nhiêu?
Cho hai đơn thức axm và bxn (m, n ∈ ℕ; a, b ∈ ℝ và b ≠ 0). Khi đó nếu m ≥ n thì phép chia axm và bxn là phép chia hết và ta có:
axm : bxn = 
(quy ước: x0 = 1).
Luyện tập 1
Thực hiện các phép chia sau:
a) 3x7: 
x4;
b) (-2x) : x;
c) 0,25x5: (-5x²).
2. CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC, TRƯỜNG HỢP CHIA HẾT ĐA THỨC, TRƯỜNG HỢP CHIA HẾT
Cách đặt tính chia
Để chia đa thức A = 2x4 – 13x3 + 15x² + 11x - 3 cho đa thức B = x² - 4x – 3, ta làm như sau:
Bước 1. Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:
2x4 : x² = 2x².
Bước 2. Lấy A trừ đi tích B (2x4), ta được dư thứ nhất là -5x3 + 21x² + 11x - 3:
| B . ( 2x2) → A - B . (2x2) → |
(Dư thứ nhất) |
|
| ← 2x4 : x2 = 2x2 |
Trang 41
Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:
(-5x³): x2 = -5x.
Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B (-5x), ta được dư thứ hai là x² - 4x – 3:
|
B . (-5x) → (Dư thứ nhất) - B . (-5x) → | 2x⁴ - 13x³ + 15x² + 11x - 3 - 2x⁴ - 8x³ - 6x² -5x³ + 21x² + 11x - 3 - -5x³ + 20x² + 15x x2 - 4x - 3 (Dư thứ hai) | x2 - 4x - 3 2x2 - 5x ← (5x³) : x2 = -5x
|
| 2x⁴ - 13x³ + 15x² + 11x - 3 - 2x⁴ - 8x³ - 6x² -5x³ + 21x² + 11x - 3 - x² - 4x - 3 - x² - 4x - 3 0 | x² - 4x - 3 2x² - 5x + 1
|
Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.
Ta được thương là đa thức 2x2 – 5x + 1.
Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết A : B = 2x2 – 5x + 1, nghĩa là xảy ra: KE A = B. (2x² - 5x + THỨC DI
Chú ý. Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta có thể không cần đặt tính chia. Cách làm như trong ví dụ sau:
(-6x⁵ + 7x⁴ - 6x³) : 3x³
= (-6x⁵ : 3x³) + (7x⁴ : 3x³) + (-6x³ : 3x³)
= -2x² + 
x - 2
Luyện tập 2
Thực hiện phép chia:
a) (x + 5x4 - 2x3): 0,5x2.
b) (9x²-4): (3x + 2).
Vận dụng
Em hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Viết đa thức bị chia là: 9x² + 0x-4 sẽ dễ làm hơn.
Trang 42
Phép chia có dư
Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức D = 5x³ - 3x² - x + 7cho đa thức E = x² + 1 được viết gọn như sau:
|
(Dư thứ nhất)
(Dư thứ hai) | 5x³ - 3x² - x + 7 - 5x³ -3x² - 6x + 7 - -3x² -6x + 10 | x² + 1 5x - 3
|
Nếu đa thức ở một dòng khuyết một hạng tử bậc nào đó thì hãy để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.
(Dư thứ nhất) (Dư thứ hai) 3x²-6x+7 3x2 -3 -6x + 10
HĐ3 Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức D cho đa thức E.
HĐ4 Kí hiệu dư thứ hai là G = -6x + 10. Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?
HĐ5 Hãy kiểm tra lại đẳng thức: D = E . (5x-3) + G.
Phép chia đa thức D cho đa thức E trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư với đa thức thương là 5x – 3 và đa thức dư là G.
Khi chia đa thức A cho đa thức B:
• Đa thức dư R phải bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của B.
• Nếu thương là đa thức Q, dư là R thì ta có đẳng thức A = BQ + R.
Luyện tập 3
Tìm dư R và thương Q trong phép chia đa thức A = 3x4 -6x5 cho đa thức B = x² + 3x – 1 rồi viết A dưới dạng A = B . Q + R.
Thử thách nhỏ
Đố Vuông tìm được dư trong phép chia x³ - 3x² + x - 1 cho x² - 3x.
Mình chỉ nhìn qua cũng biết được dư là x -1.
Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?
Trang 43
BÀI TẬP
7.30. Tính:
a) 8x⁵ : 4x³;
b) 120x7 : (-24x⁵);
c) 
(-x)³ : 
x;
d) -3,72x⁴ : (-4x²);
7.31. Thực hiện các phép chia đa thức sau:
a) (-5x³ + 15x² + 18x) : (-5x);
b) (-2x⁵ - 4x³ + 3x²) : 2x²;
7.32. Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia:
a) (6x³ - 2x² - 9x + 3) : (3x - 1);
b) (4x⁴ + 14x³ - 21x - 9) : (2x² - 3);
7.33. Thực hiện phép chia 0,5x5 + 3,2x3 - 2x² cho 0,25xn trong mỗi trường hợp sau:
a) n = 2;
b) n = 3.
7.34. Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm thương Q(x) và dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) rồi biểu diễn F(x) dưới dạng:
F(x) = G(x) . Q(x) + R(x).
a) F(x) = 6x² - 3x3 + 15x² + 2x - 1; G(x) = = 3x².
b) F(x) = 12x4 + 10x3 - x - 3; G(x) = 3x² + x + 1.
7.35. Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức 21x – 4 cho 3x². Em có thể giúp bạn Tâm được không?
