Trang 77
| Khái niệm, thuật ngữ Đường trung trực Đường cao
| Kiến thức, kĩ năng • Nhận biết đường trung trực, đường cao của tam giác. • Nhận biết sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác. • Nhận biết sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác. |
Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà (H.9.36). Em có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan giếng không?
Hình 9.36
1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TRONG MỘT TAM GIÁC
Đường trung trực của tam giác
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Trên Hình 9.37, d là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.
Hình 9.37
d đi qua A khi tam giác ABC cân tại A.
Mỗi tam giác có mấy đường trung trực?
Trang 78
Sự đồng quy của ba đường trung trực
HĐ1 Vẽ tam giác ABC (không tù) và ba đường trung trực của các đoạn thẳng BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm không.
HĐ2 Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:
Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38).
a) Tại sao OB = OC, OC = OA?
b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của cạnh AB không?
Hình 9.38
Từ HĐ2, ta có định lí sau:
Định lí 1
Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
Chẳng hạn, trong tam giác ABC (H.9.39), các đường trung trực d, m, n đồng quy tại O và OA = OB = OC.
Hình 9.39
Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C (H.9.40).
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC.
a) Chứng minh AI là đường trung trực của cạnh BC.
b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC có nằm trên AI không?
Hình 9.40
Giải (H.9.41)
a)
| GT | △ ABC có AB = AC, AI là đường trung tuyến. |
| KL | AI là đường trung trực của cạnh BC. |
Hình 9.41
Trang 79
Chứng minh
Hai tam giác AIB và AIC có:
AB = AC (GT), IB = IC (do AIlà trung tuyến); cạnh AIchung.
Do đó △AIB = △AIC (c.c.c).
Suy ra 
= 
, mà và là hai góc kề bù nên = = 90°. Do đó AI là đường trung trực của cạnh BC.
b) Do điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường trung trực của BC nên theo câu a, ta có điểm đó nằm trên trung tuyến AI.
Trong tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AI cũng là đường trung trực của BC.
Luyện tập 1
Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Vận dụng 1
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
Thử thách nhỏ
Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC
Đường cao của tam giác
Trong Hình 9.42, đoạn thẳng AI kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói Ai là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC).
Hình 9.42
Đôi khi ta cũng nói đường thẳng Ai là một đường cao của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có mấy đường cao?
HĐ3. Sự đồng quy của ba đường cao
Vẽ tam giác ABC và ba đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm không.
Trang 80
Ta có thể chứng minh được định lí sau:
Định lí 2
Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.
Chẳng hạn, trong tam giác ABC (H.9.43), các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại H.
Chú ý
a) Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC (H.9.44), ta có:
• Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.
• Khi ABC là tam giác vuông tại A thì H trùng với A (kí hiệu là H = A).
• Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.
Hình 9.43
Tam giác nhọn
Tam giác vuông (H trùng với A)
Tam giác tù
Ví dụ 2
Chứng minh trong tam giác đều, trực tâm của nó cách đều ba đỉnh của tam giác.
Giải
| GT | Tam giác đều ABC có H là trực tâm. |
| KL | H cách đều ba đỉnh tam giác ABC. |
Chứng minh (H.9.45)
Trong tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AI.
Hai tam giác vuông ABI và ACI có: AI chung, AB = AC (gt).
Hình 9.45
Do đó △ABI = △ACI (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra Bl = CI.
Vậy đường cao AI là đường trung trực của cạnh BC.
Vì tam giác đều cũng là tam giác cân tại mỗi đỉnh nên ba đường cao cũng là ba đường trung trực của nó. Vậy trực tâm H của tam giác đều cũng là giao điểm của ba đường trung trực nên nó cách đều ba đỉnh của tam giác.
Trang 81
Luyện tập 2
a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.
Trong tam giác cân tại A, đường cao xuất phát từ đình A đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác đó.
BÀI TẬP
9.26. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, НСА, НАВ.
9.27. Cho tam giác ABC có 
= 100° và trực tâm H. Tính góc BHC.
9.28. Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
9.29. a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?
Hình 9.46
b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.
9.30. Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.
Hình 9.47
EM CÓ BIẾT?
Ta có thể chứng minh trong tam giác ABC, ba đường cao AI, BJ, CK đồng quy như sau:
Ở bên ngoài tam giác ABC, ghép thêm ba tam giác CB'A, BAC' và A'CB cùng bằng tam giác ABC (H.9.48).
– Khi đó ba góc tại đỉnh A bằng ba góc của tam giác ABC nên có tổng số đo bằng 180°, suy ra ba điểm B', C' và A thẳng hàng. Do AB' = AC' = BC nên A là trung điểm của B'C'.
- Đường thẳng AB cắt hai đường thẳng B'C' và BC tạo thành hai góc so le trong bằng nhau nên B'C' // BC. Vì đường cao AI vuông góc với BC nên nó vuông góc với B'C', từ đó AI là đường trung trực của cạnh B'C'.
– Tương tự, BJ, CK lần lượt là trung trực của A'C', A'B'. Suy ra A'B'C' là tam giác nhận AI, BJ, CK là ba đường trung trực.
Ta đã biết ba đường trung trực của tam giác A'B'C' đồng quy nên AI, BJ, CK đồng quy.
Hình 9.48
