Trang 70
Ví dụ 1
Cho M là một điểm nằm bên trong góc xOy mà khoảng cách từ M đến hai cạnh Ox, Oy của góc bằng nhau. Chứng minh rằng M nằm trên tia phân giác của góc xOy.
Giải (H.9.19)
| GT | M nằm trong góc xOy, MH ⊥ Ox, MK ⊥ Oy, MH = MK (gt). |
| KL | M nằm trên tia phân giác của góc xOy. |
Chứng minh. Hai tam giác vuông OHM và OKM có:
OM chung
MH = MK (gt)
MH = MK (khối lượng riêng).
Vậy △OHM = △OKM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó 
= 
, suy ra OM là tia phân giác của góc xOy.
Hình 9.19
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC. Hãy chứng minh AB + AC > BC.
Giải (H.9.20)
Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = AC. Trong tam giác BCD, ta so sánh BD và BC.
Do tia CA nằm giữa hai cạnh CB và CD của góc BCD nên
> 
. (1)
Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên
, 
, 
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra > . (3)
Trong tam giác BCD, từ (3) suy ra:
AB + AC = BD > BC
(theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác).
Hình 9.20
Trang 71
BÀI TẬP
9.14. Hãy giải thích: Nếu M là một điểm tuỳ ý nằm trên cạnh BC hoặc CD của hình vuông ABCD thì độ dài đoạn thẳng AM luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông đó (H.9.21).
9.15. Hỏi có tam giác nào với độ dài ba cạnh là 2,5 cm; 3,4 cm và 6 cm không? Vì sao?
9.16. Tính chu vi của tam giác cân biết hai cạnh của nó có độ dài là 2 cm và 5 cm.
9.17. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ.
9.18. Biết hai cạnh của tam giác có độ dài a và b. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, hãy giải thích tại sao chu vi của tam giác đó lớn hơn 2a và nhỏ hơn 2(a + b).
9.19. Hai khu vườn A và B nằm về một phía của con kênh d. Hãy xác định bên bờ kênh cùng phía với A và B, một điểm C để đặt máy bơm nước từ kênh tưới cho hai khu vườn sao cho tổng độ dài đường ống dẫn nước từ máy bơm đến hai khu vườn là ngắn nhất (HD: Gọi B' là điểm sao cho d là đường trung trực của BB' (H.9.22). Khi đó CB = CB'. Xem Vận dụng, Bài 33).
Hình 9.22
EM CÓ BIẾT ?
Cho tam giác ABC. Ta có thể chứng minh bất đẳng thức tam giác BC < AB + AC như sau:
Xét ba trường hợp:
• Trường hợp 1: Góc B là góc tù (H.9.23) hoặc góc vuông.
Khi đó, trong tam giác ABC có 
là góc lớn nhất nên
cạnh đối diện với nó là AC lớn nhất, từ đó BC < AB + AC.
• Trường hợp 2: Góc C là góc tù (H.9.24) hoặc góc vuông.
Khi đó, C là góc lớn nhất. Tương tự trên, ta có:
BC < AB + AC.
• Trường hợp 3: Cả hai góc B và C là góc nhọn.
Kẻ AH vuông góc với BC (H.9.25). Xét hai tam giác
vuông ABH và ACH có:
BH < AB, HC < AC.
Vậy BC = BH + HC < AB + HC < AB + AC.
Vậy trong mọi trường hợp ta có BC < AB + AC.
Hình 9.23
Hình 9.24
Hình 9.25
