Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:
trong đó, v0 là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s2 là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.
Lời giải:
Phương trình chuyển động của vật là 
Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v0 – gt.
Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm 
, tại đó vận tốc bằng v(t1) = v0 – gt1 = 0.
Vật chạm đất tại thời điểm t2 mà h(t2) = 0 nên ta có:
Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t2) = v0 – gt2 = –v0 = –20 (m/s).
Dấu âm của v(t2) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xn.
a) Tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại điểm x bất kì.
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*).
Lời giải:
a)
Đặt y = f(x) = x3.
Với x0 bất kì, ta có:
Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.
b)
Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*) là y' = nxn – 1.
HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = √x tại điểm x > 0.
Lời giải:
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng
a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 tại điểm x bất kì.
b) So sánh: (x3 + x2)' và (x3)' + (x2)'.
Lời giải:
a)
Đặt f(x) = y = x3 + x2.
Với x0 bất kì, ta có:
Vậy đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 là hàm số y' = 3x2 + 2x.
b)
Ta có (x3)' = 3x2 ; (x2)' = 2x, do đó (x3)' + (x2)' = 3x2 + 2x.
Từ đó suy ra (x3 + x2)' = (x3)' + (x2)' (cùng bằng 3x2 + 2x).
Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Lời giải:
a)
Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:
b)
Với x ≥ 0 ta có:
3. Đạo hàm của hàm số hợp
HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp
Cho các hàm số y = u2 và u = x2 + 1.
a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x.
b) Tính và so sánh: y'(x) và y' (u) . u' (x).
Lời giải:
a)
Công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x là:
y = (u(x))2 = (x2 + 1)2 = x4 + 2x2 + 1.
b)
Ta có y'(x) = (x4 + 2x2 + 1)' = 4x3 + 4x.
Lại có u'(x) = (x2 + 1)' = 2x ; y'(u) = (u2)' = 2u.
Do đó, y' (u) . u' (x) = 2u . 2x = 4x(x2 + 1) = 4x3 + 4x.
Vậy y'(x) = y' (u) . u' (x).
Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Lời giải:
a)
y' = [(2x – 3)10]' = 10.(2x – 3)9 . (2x – 3)' = 10.(2x – 3)9 . 2 = 20(2x – 3)9.
b) Với x ∈ (– 1; 1), ta có:
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x
a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.
b) Sử dụng đẳng thức giới hạn 
và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.
Lời giải:
a) Với h ≠ 0, ta có:
Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số 
Lời giải:
HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x
Bằng cách viết 
, tính đạo hàm của hàm số y = cos x.
Lời giải:
Vậy đạo hàm của hàm số y = cos x là hàm số y' = – sin x.
Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số 
Lời giải:
HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x
a) Bằng cách viết 
, tính đạo hàm của hàm số y = tanx.
b) Sử dụng hằng đẳng thức 
(k∈Z), tính đạo hàm của hàm số y = cot x.
Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số 
Lời giải:
Ta có:
Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 
(m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải:
Ta có:
Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số Lôgarit
HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Lời giải:
HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ
a) Sử dụng giới hạn 
, tính đạo hàm của hàm số y = ex tại x bằng định nghĩa.
b) Sử dụng hằng đẳng thức ax = exlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = ax.
Lời giải:
a)
Với x bất kì và h = x – x0, ta có:
Vậy hàm số y = ex có đạo hàm là hàm số y' = ex.
b)
Ta có: ax = ex.ln a nên (ax)' = (ex.ln a)' = (x.ln a)' . ex.ln a = ex.ln a.ln a = ax.ln a.
Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = ex2−x ;
b) y = 3sin x .
Lời giải:
a) 
b) y' = (3sin x)' = 3sin x . (sin x)' . ln3 = 3sin x.cos x. ln3.
HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit
a) Sử dụng giới hạn 
và đẳng thức 
, tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.
b) Sử dụng đẳng thức 
(0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = logax.
Lời giải:
a)
Với x > 0 bất kì và h = x – x0 ta có:
Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số 
b) 
Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log2(2x – 1).
Lời giải:
Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⇔ x > 1/2 . Hàm số đã cho xác định trên 
Ta có: 
Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H+], ở đó [H+] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H+].
Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là đạo hàm của pH. Ta có:
Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là 
