Mở đầu trang 81 Toán 11 Tập 2: Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của tòa nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).
Lời giải:
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Ta có thể tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất.
Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là 
trong đó, g là gia tốc rơi tự do, lấy g = 9,8 m/s2; s (m) là quãng đường nó rơi từ vị trí ban đầu tới mặt đất; t (giây) là thời gian vật rơi từ vị trí ban đầu cho tới khi chạm đất.
Gọi v(t) (m/s) là vận tốc của quả bóng tại thời điểm t. Khi đó v(t) = f'(t) = gt = 9,8t.
Mặt khác, vì chiều cao của tòa nhà là 461,3 m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm t1, với s = f(t1) = 461,3 m. Từ đó, ta có
Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là
1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
HĐ1 trang 81 Toán 11 Tập 2: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).
a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t.
b) Giới hạn 
cho ta biết điều gì ?
Lời giải:
a)
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: s(t) – s(t0).
Thời gian vật đi được trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: t – t0.
Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t là:
b)
Giới hạn 
cho ta biết một điều đó là khi t càng tới gần t0, có nghĩa là (t – t0) càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0.
HĐ2 trang 82 Toán 11 Tập 2: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).
a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t.
b) Giới hạn 
cho ta biết điều gì ?
Lời giải:
a)
Cường độ điện lượng truyền trong dây dẫn trong khoảng thời gian từ t0 đến t là:
Q(t) – Q(t0).
Thời gian truyền điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: t – t0.
Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: 
b)
Giới hạn 
cho ta biết một điều đó là khi t càng tới gần t0, có nghĩa là (t – t0) càng nhỏ thì cường độ trung bình của dòng điện càng thể hiện được chính xác hơn mức độ mạnh yếu của dòng điện tại thời điểm t0.
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Luyện tập 1 trang 83 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = –x2 + 2x + 1 tại điểm x0 = –1.
Lời giải:
3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
HĐ3 trang 83 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm f'(x0) tại điểm x0 bất kì trong các trường hợp sau:
a) f(x) = c (c là hằng số);
b) f(x) = x.
Lời giải:
a) Ta có f(x) = c nên f(x) = f(x0) = c.
Khi đó, 
b) Ta có f(x) = x nên f(x0) = x0.
Khi đó, 
Luyện tập 2 trang 84 Toán 11 Tập 2:
a) y = x2 + 1
b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).
Lời giải:
a) Đặt f(x) = y = x2 + 1.
Ta có:
Vậy hàm số y = x2 + 1 có đạo hàm là hàm số y' = 2x.
b) Đặt f(x) = y = kx + c (với k, c là các hằng số).
Ta có:
Vậy hàm số y = kx + c (với k, c là các hằng số) có đạo hàm là hàm số y' = k.
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
HĐ4 trang 84 Toán 11 Tập 2: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x0; f(x0)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x0.
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc kPQ của cát tuyến PQ.
b) Khi x → x0 thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào ?
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQcó giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
Lời giải:
b)
Khi x → xo thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm P(x0; f(x0)) và khi x = x0 hai điểm này sẽ trùng nhau.
c)
Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến gần đến gần vị trí tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P. Vì vậy giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P.
Luyện tập 3 trang 85 Toán 11 Tập 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 =
Lời giải:
Ta có: y' = (x2)' = 2x nên
Vậy hệ số của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 = là k = 1.
HĐ5 trang 85 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường parabol (P).
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến (P) tại điểm có hoành độ x0 = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Lời giải:
a)
Ta có: y' = (x2)' = 2x nên y'(1) = 2.1 = 2.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 = 1 là k = 2.
b)
Ta có: x0 = 1 nên y0 = 12 = 1.
Hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 nên phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2x + c.
Suy ra: 1 = 2.1 + c ⇒ c = –1.
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2x – 1.
Luyện tập 4 trang 85 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): y = –2x2 tại điểm có hoành độ x0 = –1.
Lời giải:
Ta có: y' = (–2x2) = –4x.
Nên hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = –1 là y'(–1) = –4.(–1) = 4.
Ngoài ra, ta có y(–1) = –2 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y – (–2) = 4(x + 1) hay y = 4x + 2.
Vận dụng trang 85 Toán 11 Tập 2: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10o(độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm AB. Tia Ox trùng với tia OB, tia Oy vuông góc với tia Ox tại O, hướng như hình vẽ.
Khi đó ta có: A(–200; 0); B(200; 0).
Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h (h > 0), suy ra đỉnh cầu có tọa độ (0; h).
Ta tìm được phương trình parabol của cầu là: 
Theo cách làm ở Ví dụ 2, ta có: 
Suy ra hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là:
Vì độ dốc của mặt cầu không quá nên ta có: 
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.
