Câu hỏi 1 trang 31 SGK
Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay.
Lời giải:
Một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay: cái nón, lọ hoa, cái ốc, cuộn dây điện
Câu hỏi 2 trang 35 SGK
Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R. Hỏi hình nón đó có bán kính r của đường tròn đáy và góc ở đỉnh của hình nón bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R ⇒ đường sinh có độ dài bằng R và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi đường tròn bán kính R.
Câu hỏi 3 trang 38 SGK
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'.
Lời giải:
Biểu diễn đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a như hình vẽ.
Khi đó: Tâm đường tròn là giao điểm 2 đường chéo.
Bán kính đường tròn = r = IA = (a√2)/2
Diện tích đường tròn là: πr2 = πa2/2
⇒ diện tích xung quanh của hình trụ thỏa mãn đề bài (l = a) là:
Sxp = 2πrl = 2π.a.(√2/2).a = πa2√2
Diện tích khối trụ thỏa mãn đề bài (h = a) là:
V = B.h = a(πa2)/2= (πa3)/2
Bài 1 trang 39 SGK
Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O của đường tròn (T).
Từ điểm M trên đường tròn (T), vẽ đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P).
Khi đó đường thẳng Δ song song với d và luôn cách d một khoảng bằng r.
Đường thẳng Δ thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d và bán kính r.
Bài 2 trang 39 SGK
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư,
b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.
c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Lời giải:
a) Khi quay một hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh thì ta được một hình trụ.
b) Khi quay một tam giác cân xung quanh trục đối xứng của nó ta được một hình nón tròn xoay.
c) Một tam giác vuông kể cả điểm trong của nó khi quay xung quanh một đường thẳng chứa một cạnh góc vuông thì tạo ra một khối nón tròn xoay.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của nó khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh thì tạo ra một khối trụ tròn xoay.
Bài 3 trang 39 SGK
Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó
Lời giải:
a) Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là:
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là;
b) Ta có:
c) Gọi hình nón đã cho có đỉnh là S và H là tâm đường tròn đáy.
Thiết diện đi qua đỉnh S là tam giác SAC (với A và C thuộc đường tròn đáy)
Gọi M là trung điểm của AC.
Do đó, d( H; (SAC))= HI = 12
Trong tam giác vuông SHM ta có:
Trong tam giác vuông HAM ta có:
AM2 = HA2 – HM2 = 252 – 152 = 400 nên AM = 20 (cm)
Ta có:
Do đó, diện tích thiết diện SAC là:
Bài 4 trang 39 SGK
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20 cm,. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10 cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.
Lời giải:
Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại H.
Ta có BH = 10cm = d(B,d)
Vậy đường thẳng d nằm trên mặt nón có đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh là 2α = 600
Bài 5 trang 39 SGK
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Lời giải:
a) Do khoảng cách hai đáy là nên chiều cao của hình trụ (đồng thời là độ dài đường sinh) là h = l = 7.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Sxq = 2π.r.l = 2π.5.7 = 70π (cm2)
Thể tích của khối trụ được tạo nên là:
V = πr2.h = π.52.7 = 175π (cm3)
b) Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục 3cm, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác AA1B1B.
Gọi H là trung điểm của AB.
Suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)), (1)
Lại có: OO1// mp (AA1B1B) , (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)= d( OO1, (AA1B1B) ) = 3 cm
* Xét tam giác AOH vuông tại H ta có:
AH2 = AO2 – OH2 = 52 – 32 = 16
⇒ AH = 4cm ⇒ AB = 2AH = 8cm
Diện tích của thiết diện cần tính là :
SAA1B1B = AB. AA1 = 8. 7 = 56 (cm2)
Bài 6 trang 39 SGK
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Lời giải:
Theo đề bài, đường kính của hình tròn đáy của nón bằng 2a.
Vậy bán kính r = a và độ dài đường sinh của hình nón l = 2a.
Suy ra chiều cao của hình nón: h = √(l2 − r2) = √(4a2 − a2) = a√3
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq = πrl = π.a.2a = 2a2π
Thể tích khối nón là: V = (1/3).πr2.h = (1/3)πa2.a√3 = (πa3√3)/3
Bài 7 trang 39 SGK
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r√3.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30o.Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
Lời giải:
a) Áp dụng công thức: Sxq = 2πrh; Stp= 2πrh + 2πr2 với r, h lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao của hình trụ.
Theo công thức ta có:
Sxq = 2πrh = 2√3πr2
Stp= 2πrh + 2πr2 = 2√3πr2+2πr2 = 2(√3 + 1)πr2 (đơn vị thể tích)
b) Áp dụng công thức: V = πr2h.
Vtrụ = πr2h = πr2.r√3 = √3.πr3
c) Giả sử trục của hình trụ là O1O2 và A nằm trên đường tròn tâm O1, B nằm trên đường tròn tâm O2; I là trung điểm của O1O2, J là trung điểm của AB.
Ta chứng minh IJ là đường vuông góc chung của O1O2 và AB.
Hạ BB1 vuông góc với đáy, J1 là hình chiếu vuông góc của J xuống đáy.
Dễ thấy J1 là trung điểm của AB1 (định lí đường trung bình của tam giác).
Vậy IJ là đường vuông góc chung của O1O2 và AB ⇒ d(AB; O1O2) = IJ.
Ta có: BB1 // O1O2 ⇒ 
Do vậy: AB1 = BB1.tan300 = (√3/3).h = r.
Xét tam giác vuông O1J1A vuông tại J1 ta có:
Vậy khoảng cách giữa AB và O1O2 là: r√3/2.
Bài 8 trang 40 SGK
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r√3 . Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O; r).
a) Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số S1/S2 .
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Lời giải:
Bài 9 trang 40 SGK
Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2.
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60o.Tính diện tích tam giác SBC.
Lời giải:
Bài 10 trang 40 SGK
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.
Lời giải:
Do tính chất đối xứng của (ABCD) nên (ABCD) cắt OO′ tại trung điểm I của OO′.
I cũng là giao điểm của hai đường chéo AC, BD.
Xét tam giác vuông IOB ta có: IB2 = IO2 + OB2
