(Trang 84)
| Kiến thức, kĩ năng • Giải thích tính chất đường phân giác trong của tam giác. • Sử dụng tính chất đường phân giác trong của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng. |
Trong H.4.19, AD là đường phân giác của tam giác ABC. Hai tỉ số 
và 
có bằng nhau không?
Hình 4.19
Tính chất đường phân giác của tam giác
Cho tia phân giác At của góc xAy (H.4.20). Nếu lấy điểm B trên tia Ax, điểm C trên tia Ay, ta được tam giác ABC. Giả sử tia phân giác At cắt BC tại điểm D.
HĐ1 Khi lấy B và C sao cho AB = AC (H.4.20a), hãy so sánh hai tỉ số 
và 
HĐ2 Khi lấy B và C sao cho AB và = 2 cm và AC = 4 cm (H.4.20b) hãy dùng thước có đo độ dài vạch chia đến milimet để đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh hai tỉ số và .
Định lí (Tính chất đường phân giác của tam giác)
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.
| GT | △ABC, AD là đường phân giác của góc  (D ∈ BC) |
| KL |  |
(Trang 85)
Chứng minh định lí
Vẽ đường thẳng qua B, song song với AD, cắt đường thẳng AC tại E (H.4.21).
Hình 4.21
Theo giả thiết, AD là phân giác của góc A nên 
.
Ta có 
(hai góc so le trong);
(hai góc đồng vị).
Do đó, 
nên tam giác AEB cân tại A.
Suy ra AE = AB. (1)
Mặt khác, áp dụng định lí Thalès vào tam giác CEB, ta có:
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra 
Chú ý. Trong tam giác ABC, nếu D là điểm thuộc đoạn BC và thoả mãn thì 
thì AD là đường phân giác của góc A.
Ví dụ
Tính độ dài x trong Hình 4.22.
Hình 4.22
Giải
Trong tam giác MNP có MI là đường phân giác của góc M.
Do đó ta có:
hay 
Từ đó suy ra 
Luyện tập
Tính độ dài x trên Hình 4.23.
Hình 4.23
(Trang 86)
4.10. Tính độ dài x trong Hình 4.24.
Hình 4.24
4.11. Cho tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng DC biết AB = 4,5 m; AC = 7,0 m và CB= 3,5 m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
4.12. Nhà bạn Mai ở vị trí M, nhà bạn Dung ở vị trí D (Hình 4.25), biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của AB. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường MD để đến điểm I. Bạn Mai xuất phát lúc 7h. Hỏi bạn Dung phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm I?
Hình 4.25
EM CÓ BIẾT?
Đường phân giác của góc ngoài của một tam giác (còn gọi là đường phân giác ngoài) cũng có tính chất tương tự như đường phân giác trong. Cụ thể là:
Trong hình 4.26, AD' là phân giác của góc BAx (đường phân giác ngoài của △ABC tại A), ta có tỉ lệ thức 
Hình 4.26
