(Trang 10)
| Khái niệm, thuật ngữ | Kiến thức, kĩ năng |
| - Phương trình bậc hai một ẩn - Công thức nghiệm - Biệt thức | - Nhận biết khái niệm phương trình bậc hai một ẩn. - Giải phương trình bậc hai một ẩn. - Tính nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn bằng máy tính cầm tay. - Vận dụng phương trình bậc hai vào giải quyết bài toán thực tiễn. |
Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 28 m x 16 m, người ta dự định làm một bể bơi có đường đi xung quanh (H.6.9). Hỏi bề rộng của đường đi là bao nhiều để diện tích của bể bơi là 288 
?
Hình 6.9
1. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn
Xét bài toán trong tình huống mở đầu.
HĐ1 Gọi x (m) là bề rộng của mặt đường (0 < x < 8). Tính chiều dài và chiều rộng của bổ bơi theo x.
HĐ2 Dựa vào kết quả HĐ1, tính diện tích của bể bơi theo X.
HĐ3 Sử dụng giả thiết và kết quả HĐ2, hãy viết phương trình để tìm x.
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng 
+ bx + c = 0,
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hộ số và a ≠ 0.
(Trang 11)
Ví dụ 1 Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn x? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình đó.
a) 
; b) 
;
c) 
; d) 
.
Giải
a) Phương trình là phương trình bậc hai với a = 2, b = –3, c = 1.
b) Phương trình là phương trình bậc hai với a = 1, b = 0, c = –3.
c) Phương trình không phải là phương trình bậc hai.
d) Phương trình là phương trình bậc hai với a = −5, b = 0, c = 0.
Luyện tập 1 Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn x? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình đó.
a) 
; b) 
;
c) 
; d) 
Tranh luận
|
Phương trình (ẩn x) m |
+2x+1 = 0 (m là một số cho trước) là một phương trình bậc hai với a = m, b = 2, c 1Ý kiến của em thế nào?
2 CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT
Cách giải phương trình bậc hai một ẩn dạng khuyết
Giải một phương trình bậc hai là tìm tất cả các nghiệm của nó. Dưới đây, thông qua một số ví dụ đơn giản, ta trình bày cách giải một số phương trình bậc hai dạng a
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), mà khuyết số hạng bậc nhất (tức là b = 0) hoặc khuyết số hạng tự do (tức là c = 0), bằng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về dạng tích hoặc dùng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương.
|
= B (B ≥ 0) thì A = 
hoặc A = – 
.Ví dụ 2
Giải các phương trình sau:
a) 2
-4x=0; b) 3+8x=0.
(Trang 12)
Giải
| a) 2 2x(x-2)=0 x = 0 hoặc x = 2. Vậy phương trình có hai nghiệm: | b) 3 x(3x+8)= 0 x = 0 hoặc x= Vậy phương trình có hai nghiệm: |
= 0, 
= 2.
.Luyện tập 2 Giải các phương trình sau:
a) 2 + 6x = 0; b) 5 + 11x = 0;
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
a) - 9 = 0; b) 
.
Giải
| a)
x = 3 hoặc x = -3. Vậy phương trình có hai nghiệm: | b) x+1= x= -1 + Vậy phương trình có hai nghiệm: |
hoặc x+1 = -
Luyện tập 3 Giải các phương trình sau:
a) - 25=0; b) 
=5
Chú ý. Để giải phương trình bậc hai dạng + bx = c, ta có thể cộng thêm vào hai về của phương trình với cùng một số thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó có thể giải phương trình đã cho.
Ví dụ 4 Cho phương trình – 4x = 1
a) Hãy cộng vào cả hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái có thể biến đổi thành một bình phương.
b) Dựa vào câu a và cách giải Ví dụ 3b, hãy giải phương trình đã cho.
Giải
a) - 4x=1
- 4x + 4 = 1 + 4
=5.
b) Từ kết quả câu a, ta có:
x-2 = 
hoặc x-2 = -, suy ra là x= 2+ hoặc x=2-.
Vậy phương trình có hai nghiệm: 
= 2 +, 
.
(Trang 13)
Luyện tập 4 Cho phương trình + 6x = 1.
Hãy cộng vào cả hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để được một phương trình mà về trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó, hãy giải phương trình đã cho.
3 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Xây dựng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
HĐ4 Thực hiện lần lượt các bước sau để giải phương trình:
2-8x+3=0.
a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của .
c) Thêm vào hai vế của phương trình nhận được ở câu b với cùng một số để về trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó tìm nghiệm x.
Cách giải phương trình bậc hai
Tương tự HĐ4, để giải phương trình bậc hai a + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong trường hợp tổng quát, ta làm như sau:
– Chuyển hạng tử tự do c sang vế phải: a +bx = −c.
– Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số a của : 
.
– Cộng vào hai vế của phương trình nhận được với 
để vế trái có thể biến đổi thành bình phương của một biểu thức: 
hay 
.
Kí hiệu △= 
và gọi là biệt thức của phương trình (△ đọc là “đenta"). Khi đó, ta có thể viết lại phương trình cuối dưới dạng 
Từ đây, ta có kết quả sau:
Xét phương trình bậc hai một ẩn a
+ bx + c = 0 (a ≠ 0).
Tính biệt thức △ = 
.
• Nếu △ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
; 
• Nếu △=0 thì phương trình có nghiệm kép 
= 
= 
• Nếu △ <0 thì phương trình vô nghiệm.
(Trang 14)
Ví dụ 5 Cho phương trình 3
+7x−1=0.
a) Xác định các hệ số a, b, c.
b) Tính biệt thức △.
c) Áp dụng công thức nghiệm, giải phương trình đã cho.
Giải
a) Ta có: a = 3, b = 7, c = -1.
b) Ta có: △ = 
– 4ac = 
– 4.3.(-1)= 49+12=61.
c) Do △ >0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
; 
Ví dụ 6
Giải các phương trình sau:
a) 
-6x+9=0; b) 2+3x+5=0.
Giải
a) Ta có: △=
– 4.1.9= 0. Do đó, phương trình có nghiệm kép:
.
b) Ta có: △ = 
– 4.2.5=9-40 =-31< 0. Do đó, phương trình vô nghiệm.
Luyện tập 5
Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình sau:
a) 2-5x+1=0; b) +8x+16=0; c) -x+1=0.
Thử thách nhỏ
|
Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai a |
Em hãy trả lời câu hỏi của anh Pi.
Chú ý. Xét phương trình bậc hai a + bx + c = 0 (a ≠ 0), với b = 2b' và △' = 
– ac.
• Nếu △'>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
; 
.
• Nếu △'=0 thì phương trình có nghiệm kép 
• Nếu △'<0 thì phương trình vô nghiệm.
Các công thức ở trên gọi là công thức nghiệm thu gọn.
(Trang 15)
Ví dụ 7
Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:
a) 2
+6x+1=0; b) 
Giải
a) Ta có: a=2, b'=3, c=1 và △'=
-2.1=7>0. Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
; 
.
b) Ta có: a=1, b'=
, c=12 và △'= 
-1.12=0. Do đó, phương trình có nghiệm kép: 
.
Luyện tập 6
Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:
a) 3
+8x-3=0; b) 
.
Vận dụng: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
4 TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể dễ dàng tìm nghiệm của các phương trình bậc hai một ẩn.
Ví dụ 8
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2-5x-4=0; b) 9 - 12x + 4 = 0; c)-3+4x-2=0.
Giải. Với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím
để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.
Tiếp theo, với từng phương trình ta thực hiện như sau:
| Tìm nghiệm của phương trình | Bấm phím | Màn hình hiện | Kết luận |
| 2-5x-4=0 |  |
Bấm tiếp phím
| Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
|
;
(Trang 16)
| 9 - 12x + 4 = 0 |  |  | Phương trình có nghiệm kép  . |
| -3+4x-2=0. |  |
Bấm tiếp phím
| Phương trình vô nghiệm. |
Chú ý. Để hiển thị kết quả xấp xỉ ở dạng số thập phân sau khi nhận kết quả ta bấm phím 
.
Luyện tập 7
Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:
a) 5+2
+2=0;
b) 3-5x+7= 0;
c) 4 - 4x + 1 = 0.
BÀI TẬP
6.8. Đưa các phương trình sau về dạng a + bx + c = 0 và xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó.
a) 3+2x-1= - x;
b) 
= + 1.
6.9. Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
.
6.10. Không cần giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức △ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 11+13x-1=0,
b) 9+42x+49=0;
c) -2x+3=0.
(Trang 17)
6.11. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải các phương trình sau:
a) - 2
+ 2=0;
b) 4 + 28x + 49 = 0;
c) 3 - 
+ 1=0.
6.12. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:
a) 0,1 + 2,5x - 0,2 = 0;
b) 0,01 - 0,05x + 0,0625 = 0;
c) 1,2 + 0,75x + 2,5 = 0;
6.13. Độ cao h (mét) so với mặt đất của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu 
= 19,6 m/s cho bởi công thức h = 19,6t– 4,9
, ở đó t là thời gian kể từ khi phóng (giây) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). Hỏi sau bao lâu kể từ khi phóng, vật sẽ rơi trở lại mặt đất?
6,14. Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bằng độ dài đường chéo. Ti vi truyền thống có định dạng 4 : 3, nghĩa là tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của màn hình là 4 : 3. Hỏi diện tích của màn hình ti vi truyền thống 37 in là bao nhiêu? Diện tích của màn hình ti vi LCD 37 in có định dạng 16 : 9 là bao nhiêu? Màn hình ti vi nào có diện tích lớn hơn? Ở đây, các diện tích của màn hình được tính bằng inch vuông.
|
Ti vi truyền thống 4:3 |
Ti vi LCD 16:9 |
6.15. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 6 m và có diện tích
là 140 
. Tính các kích thước của mảnh vườn đó.
