(Trang 72)
| Khái niệm, thuật ngữ | Kiến thức, kĩ năng |
| - Đường tròn ngoại tiếp tam giác - Đường tròn nội tiếp tam giác | - Nhận biết định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác. - Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, trong đó có tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, tam giác đều. - Nhận biết định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác. - Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, trong đó có tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều. |
Cho trước một tam giác ABC. Bằng thước kẻ và compa, em có thể vẽ được một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác và đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác hay không?
1 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP MỘT TAM GIÁC
Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác
HĐ1 Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và O là một điểm trên d (H.9.12). Hỏi đường tròn tâm O đi qua A thì có đi qua B không?
Hình 9.12
HĐ2 Cho tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O (H.9.13). Hãy giải thích tại sao đường tròn (O; OA) đi qua ba đình của tam giác ABC.
Hình 9.13
Đường tròn (O; OA) như trên gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
Trong Hình 9.13, đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Ta cũng nói tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hay (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
(Trang 73)
Hãy kể tên bốn tam giác nội tiếp đường tròn (O) trong Hình 9.14.
Hình 9.14
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
HĐ3 Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A (H.9.15). Gọi N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Vẽ hai đường trung trực a, b của các cạnh AB, AC, cắt nhau tại M.
b) Hãy giải thích vì sao MN, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
c) Hãy giải thích vì sao M là trung điểm của BC, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
có tâm M và bán kính 
.
Hình 9.15
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2 cm, AC = 4 cm. Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính R.
Giải (H.9.16).
Lấy O là trung điểm của BC và vẽ đường tròn (O) đi qua A. Khi đó, (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Theo định lí Pythagore, ta có:
hay 
cm.
Vậy đường tròn (O) có bán kính 
CM.
Hình 9.16
Luyện tập 1 Cho tam giác ABC có AC = 3 cm, AB = 4 cm và BC = 5 cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
HĐ4 a) Vẽ tam giác đều ABC. Hãy trình bày cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vẽ đường tròn đó.
Hình 9.17
(Trang 74)
b) Giải thích vì sao tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó (H.9.17).
c) Giải thích vì sao 
= 30° và 
(với M là trung điểm của BC).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng 
.
Ví dụ 2 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3 cm. Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính R.
Giải (H.9.18).
Lấy O là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC và vẽ đường tròn (O) đi qua A. Đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính
Hình 9.18
Luyện tập 2 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính bằng 4 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác.
2 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP MỘT TAM GIÁC
Đường tròn nội tiếp tam giác
HĐ5 Cho tam giác ABC có ba đường phân giác đồng quy tại điểm I. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ I xuống các cạnh BC, CA và AB (H.9.19).
Hình 9.19
a) Hãy giải thích vì sao các điểm D, E, F cùng nằm trên một đường tròn có tâm I.
b) Gọi (I) là đường tròn trên. Hãy giải thích vì sao (l) tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC.
Đường tròn (I) như trên được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Ta cũng nói tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) (H.9.19).
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.
| Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác nghĩa là tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh đó và có tiếp điểm nằm trên cạnh đó.
|
(Trang 75)
Mỗi tam giác có bao nhiêu đường tròn nội tiếp? Có bao nhiêu tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn?
Đường tròn nội tiếp tam giác đều
HĐ6 Cho tam giác ABC đều có trọng tâm G.
a) Giải thích vì sao G cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Từ đó, giải thích vì sao bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bằng 
.
Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng 
.
Ví dụ 3
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Biết rằng  = 40°, 
= 60°. Tính số đo của các góc BIC, CIA và AIB.
Hình 9.20
Giải (H.9.20).
Vì tổng ba góc của tam giác ABC bằng 180° nên 
= 180° - 
- 
= 80°.
Vì tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) nên I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC. Do đó, ta có: 
;
Vì tổng các góc trong tam giác BIC bằng 180° nên
Tương tự, 
và 
Thực hành
Vẽ đường tròn nội tiếp của tam giác ABC bằng thước kẻ và compa theo các bước sau:
– Vẽ tia phân giác góc B như sau: Dùng compa vẽ một cung tròn tâm B cắt hai cạnh BC, BA lần lượt tại X và Y. Vẽ hai cung tròn tâm X, Y có cùng bán kính, hai cung này cắt nhau tại một điểm Z khác B. Kẻ tia BZ ta được tia phân giác góc B.
– Tương tự, vẽ tia phân giác góc C, cắt tia BZ tại I.
– Vẽ đường cao ID từ I xuống BC (D thuộc BC). Vẽ đường tròn (l; ID) (H.9.21).
(Trang 76)
Hình 9.21
Khi đó đường tròn (I; ID) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC cần vẽ.
Luyện tập 3
Cho tam giác đều ABC (H.9.22).
Hình 9.22
a) Vẽ đường tròn (l; r) nội tiếp tam giác ABC.
b) Biết rằng BC = 4 cm, hãy tính bán kính r.
BÀI TẬP
9.7. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính của (O), biết rằng tam giác ABC vuông cân tại A và có cạnh bên bằng 
cm.
9.8. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 3 cm. Tính diện tích tam giác ABC.
9.9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng 
9.10. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh AB, AC lần lượt là E, F. Chứng minh rằng 
9.11. Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết rằng bán kính của (l) bằng 1 cm.
9.12. Người ta muốn làm một khung gỗ hình tam giác đều để đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính 30 cm (H.9.23). Hỏi độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng bao nhiêu?
Hình 9.23
(Trang 77)
EM CÓ BIẾT?
(Đọc thêm) ĐƯỜNG TRÒN BÀNG TIẾP TAM GIÁC
Chúng ta biết rằng đường tròn nội tiếp một tam giác thì tiếp xúc với ba cạnh của tam giác và nằm bên trong tam giác. Ngoài ra, mỗi tam giác cho trước còn có ba đường tròn khác cũng tiếp xúc với ba đường thẳng chứa các cạnh của tam giác, nhưng chúng nằm ngoài tam giác. Các đường tròn đó gọi là các đường tròn bàng tiếp.
Cụ thể, ta có định nghĩa sau: Đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC trong góc A là đường tròn tiếp xúc với cạnh BC và tiếp xúc với các tia đối của tia BA và tia CA.
Tương tự, ta cũng có đường tròn bàng tiếp trong các góc B và C của tam giác ABC.
Vẽ đường tròn bàng tiếp. Ta vẽ đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC như sau:
– Vẽ hai đường phân giác ngoài góc B và C của tam giác ABC. Gọi 
là giao điểm của hai đường phân giác ngoài này. Khi đó, nằm ngoài tam giác ABC và cách đều các đường thẳng AB, BC, CA.
– Kẻ đường thẳng qua vuông góc với AC và cắt AC tại điểm E. Vẽ đường tròn (, 
). Khi đó, đường tròn (, ) sẽ tiếp xúc với cạnh BC và tiếp xúc với các tia đối của tia BA, CA. Vậy (, ) là đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC như hình bên.
