(Trang 80)
| Khái niệm, thuật ngữ | Kiến thức, kĩ năng |
| - Tứ giác nội tiếp - Đường tròn ngoại tiếp tứ giác | - Nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn và giải thích định lí về tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng 180°. - Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông. - Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với đường tròn. |
Với mỗi tam giác cho trước luôn có một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó. Điều này có đúng với tứ giác hay không? Trong bài học này, các em sẽ tìm hiểu vấn đề đó.
1 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP MỘT TỨ GIÁC
Đường tròn đi qua bốn đỉnh của một tứ giác
HĐ1 Cho tứ giác ABCD có Â= 
= 90° (H.9.28). Hãy giải thích vì sao bốn đỉnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm O của đoạn thẳng BD.
Hình 9.28
HĐ2 Trên đường tròn (O), lấy các điểm A, B, C, D sao cho ABCD là tứ giác lồi (H.9.29). Các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy hay không?
Hình 9.29
Các tứ giác ABCD như Hình 9.28 và Hình 9.29 được gọi là nội tiếp đường tròn (O) và ta cũng nói đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. Cụ thể, ta có định nghĩa sau:
Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội tiếp) và đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Ví dụ 1 Trong các hình sau (H.9.30), hình nào vẽ một tứ giác nội tiếp một đường tròn?
Hình 9.30
(Trang 81)
Giải. Hình a và b không vẽ tứ giác nào nội tiếp một đường tròn vì mỗi tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn và đỉnh còn lại không nằm trên đường tròn.
Hình c vẽ một tứ giác nội tiếp một đường tròn vì tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.
HĐ3 Em hãy đo các góc đối nhau A và C của tứ giác ABCD trong HĐ2 và tính tổng 
. So sánh kết quả của em với các bạn.
Tổng quát, chúng ta có định lí sau đây về tổng số đo các góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp.
Hình 9.31
Định lí
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.
| GT | Tứ giác ABCD nội tiếp (O). |
| KL |  |
Chứng minh
Do hai điểm B, D chia đường tròn (O) thành hai cung 
và 
nên sđ + sđ = 360°.
Do  và 
là các góc nội tiếp của đường tròn (O) lần lượt chắn cung và nên
A+ C = sd BCD + sd BAD = 180°. Tương tự, Ê + Ô = 180.
Ví dụ 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.32. Hai đường thẳng AB và DC cắt nhau tại X. Biết rằng 
= 70°, 
=130° Tính số đo của các góc BCD và BXC.
Hình 9.32
Giải. Vì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°.
Do đó 
+
= 180°, hay = 180° – = 180° – 70° = 110°.
Tương tự, ta có
Vì tổng các góc trong tam giác AXD bằng 180° nên:
Luyện tập 1 Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF. Biết rằng 
= 60°, 
= 80°
a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.
b) Tính số đo của các góc BFE và CEF.
(Trang 82)
Thử thách nhỏ 1
Cho tứ giác ABCD, biết rằng các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, AC, AD
đồng quy tại một điểm. Hãy giải thích vì sao ABCD là tứ giác nội tiếp.
2 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP HÌNH CHỮ NHẬT VÀ HÌNH VUÔNG
Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông
HĐ4 Vẽ hình chữ nhật ABCD và giao điểm M của hai đường chéo AC và BD (H.9.33).
Hình 9.33
a) Hãy giải thích vì sao điểm M cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
b) Chứng tỏ rằng hình chữ nhật ABCD nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.
HĐ5 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3 cm (H.9.34).
Hình 9.34
Hãy xác định tâm, vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và cho biết bán kính của đường tròn đó.
Từ hai hoạt động trên, ta có khẳng định sau:
Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp của chúng có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.
Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có bao nhiêu hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O)?
Ví dụ 3
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm, AD = 4 cm. Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tính bán kính R.
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = OA. Đường tròn (O, R) vừa võ ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD (H.9.35).
Hình 9.35
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A, ta có:
nên BD=5cm.
Do đó, ta có 
cm.
(Trang 83)
Luyện tập 2
Cho hình thoi ABCD có các cạnh bằng 3 cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA, AD. Chứng tỏ rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.
Thử thách nhỏ 2
Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật ABCD và AECF trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng có cùng nằm trên một đường tròn không?
Hình 9.36
BÀI TẬP
9.18. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:
a) 
= 60°, 
= 80°; b) =70°, Ĉ=90°;
c) Ĉ = 100°, D = 60°; d) 
=110°, Â = 80°.
9.19. Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng 
= 
, 
= 
và IA . IB = IC . ID.
9.20. Cho hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
9.21. Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
9.22. Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,5 cm.
9.23. Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.
Hình 9.37
